Volum av en kule (Cavalieris prinsipp)

Volum av en kule (Cavalieris prinsipp)

Det er mulig å beregne volumet av en kule ved å bruke en passende sylinder og kjegle.

Matematikk

Nøkkelord

volum av kule, Cavalieri's prinsippet, beregningsvolum, kropper, Kule, matematikk

Relaterte elementer

Scener

Demonstrasjon av Cavalieris prinsipp

  • r

Cavalieris prinsipp: Ta to figurer og plasser dem på ett plan. Skjær dem med to plan som er parallelle med grunnflaten og undersøk de to figurene og deres snittflater etter de følgende kriteriene:
- Grunnflatene har samme areal.
- Alle snittflatene som er parallelle med grunnflaten har like stort areal.
- Høydene på de to figurene sammenfaller.

Hvis alle disse punktene er sanne, har de to figurene like stort volum.

Cavalieris prinsipp er til stor hjelp når man skal beregne volumet av en kule. Uten det ville mer avanserte matematiske verktøy være nødvendig for å komme frem til et resultat.

La oss se på en halvkule som har radius r med sin snittflate, og en sylinder som står på samme plan. Radiusen til den sirkulære grunnflaten og høyden til sylinderen er r. La oss skjære en opp-ned kjegle fra sylinderen, med både radius og høyde r. I animasjonen vises disse figurene sammen, med sine speilbilder i forhold til planet. Grunnflatene til de to figurene har samme areal.

Når vi ser på deres snittflater som er parallelle med dette planet, må vi beregne arealet av snittflaten som ligger på høyde h.

Hos kulen er denne snittflaten en sirkel. Ifølge Pythagoras læresetning er kvadratet av sirkelens radius lik r² - h², dermed er arealet

Snittflaten hos den andre figuren er et ringrom med ytre radius r og indre radius h. Dens areal er

Med andre ord, gitt to figurer, de to snittflatene som er parallelle med grunnflatene sammenfaller.
På grunn av derivasjonen av de to figurene, er høydene like store.

Alle kriteriene i Cavalieris prinsipp møtes, derfor har de to figurene like stort volum.

Animasjon

  • h

Relaterte elementer

Kule

En kule er et sett av punkter som alle ligger innenfor den samme avstand fra et gitt punkt i rommet.

Volum av kuler (demonstrasjon)

Summen av volumet av 'tetraederne' gir en tilnærming til volumet til en kule.

Arealet på overflaten til en kule (demonstrasjon)

Overflaten til en kule består av et sett med punkter som befinner seg i samme avstand fra et gitt punkt i rommet.

Fysikere som forandret verden

Disse store fysikerne hadde en enorm påvirkning på fysikkens utvikling.

Omkrets, areal, overflate og volum

Denne animasjonen presenterer formlene til beregning av omkrets og areal av plan figurer, samt overflate og volum av romfigurer.

Ratio of volumes of similar solids

This 3D scene explains the correlation between the ratio of similarity and the ratio of volume of geometric solids.

Geometriske transformasjoner – rotasjon

Denne animasjonen demonstrerer geometrisk rotasjon, en type geometrisk transformasjon både i plan og rom.

Omdreiningslegemer

Ved å rotere en geometrisk figur rundt en linje med dens geometriske plan som akse, får vi ulike omdreiningslegemer.

Volum og overflateareal (øvelse)

En øvelse om volum og overflateareal ved bruk av en kube som endrer seg.

Volumet av et tetraeder

For å beregne volumet av et tetraeder, kan vi begynne å regne ut volumet av et prisme.

Added to your cart.