Le volume des sphères (le principe de Cavalieri)

Le volume des sphères (le principe de Cavalieri)

Le calcul du volume d' une sphère est possible en utilisant un cylindre approprié et un cône.

Mathématiques

Mots clés

volume de la sphère, principe de Cavalieri, calcul du volume, solides, sphère, mathématiques

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Scènes

Démonstration du principe de Cavalieri

  • r

Le principe de Cavalieri

Prenez deux solides et placez les sur un plan. Coupez les avec deux plans parallèles à leur base et examinez les deux solides et leurs coupes selon les propriétés suivantes:

- Les superficies de leurs bases sont égales.
- Les superficies de toutes les coupes parallèles à leurs bases sont égales.
- Les hauteurs des deux solides sont égales.

Si tout cela est vrai, alors les volumes des deux solides sont égaux.

Le principe de Cavalieri aide beaucoup dans le calcul des volumes des sphères. Sans cela, des méthodes mathématiques plus élaborées seraient nécessaires pour obtenir un résultat.

Considérons un hémisphère de rayon r avec sa coupe, et un cylindre placé sur le même plan. Le rayon de la base circulaire et la hauteur du cylindre sont r.

Découpons un cône renversé dans le cylindre, de rayon et de hauteur r. Dans l'animation, ces solides sont affichés ensemble avec leurs images miroir par rapport au plan. Les superficies des bases des deux solides sont égales.

Lorsqu'on examine leurs coupes parallèles à ce plan, nous devons calculer la superficie des coupes, qui sont de hauteur h.

Dans le cas d'une sphère, la coupe est un cercle. Grâce au théorème de pythagore, le carré du rayon du cercle est égal à r² - h², sa superficie est donc:

Dans le cas d'un autre solide, la coupe est un anneau de rayon externe r et de rayon interne h. Sa superficie est:

En d'autres termes, pour deux solides donnés, les superficies de leurs coupes parallèles à leur base sont égales. A cause de la dérivation des deux solides, les hauteurs des deux solides sont égales.

Toutes les conditions du principe de Cavalieri sont là, les deux solides ont donc une volume égal.

Animation

  • h

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